Alikvótní řada

Dnes jsem shlédl video Františka Fuky, ve kterém se snaží popsat základy hudební teorie z pohledu počítačového geeka nebo matematika. Zaujalo mě především prostý matematický vzorec, podle kterého si mohu odvodit frekvenci jakéhokoliv tónu. Mám dojem, že jsem se s ním setkal již dříve, ale to jsem mu nevěnoval pozornost, neboť jsem si ho nedal do dalších souvislostí. V tomto článku bych chtěl poukázat na přirozenost alikvótní řady a na její vazbu k matematickému vyjádření. Význam této řady spatřuji především z pohledu hráče na žesťový nástroj, ale týká se jakýchkoliv zvuků.

Nyní od začátku...

Když zní nějaký tón, znamená to, že se něco chvěje. Čím rychleji se to chtěje, tím vyšší tón slyšíme. Zvuk má zpravidla tvar sinusoidy.

Rychlost tohoto chvění udáváme v hertzech, což nám říká, ke kolika zachvěním za vteřinu dojde. Nejznámějším tónem je tzv. komorní "a", které se chvěje rychlostí 440Hz. Jedná se však v podstatě o konvenci, která nemusí být a není nutně dodržována. Z pohledu relativního sluchu je pro nás podstatné, že zdvojnásobením rychlosti frekvence získáme stejnojmenný tón, který je o oktávu výš. Odpovídá-li tedy a1 frekvenci 440Hz, tak tón a2 získáme chvěním 880Hz, a3 chvěním 1760Hz atd. Jelikož v rámci jedné oktávy rozlišujeme 12 tónů, byly frekvence ostatních tónů v rámci tzv. temperovaného ladění dopočítány jako součin frekvence výchozího tónu a dvanácté odmocniny z čísla 2, kde je tato odmocnina zároveň umocněna počtem půltónů, o které se chceme posunout výš. O půl tón výš nežli a1 nalezneme bb1. Jeho frekvence bude tedy 440*(2^(1/12)) = 466,1638. Obdobně můžeme dopočítat jakýkoliv další tón.

Na následujícím grafu jsou modře znázorněny násobky (koeficienty), kterými můžeme získat daný interval.

Zde jsou zobrazeny ve vztahu k tónu Bb, ale můžeme začít počítat od kteréhokoliv tónu. Červené sloupce představují celotónové násobky frekvencí, které představují tzv. alikvótní řadu. Představit si to můžeme pomocí následujícího obrázku:

Pokud hrajete například na trubku, můžete tímto způsobem pochopit, jak nástroj fyzikálně funguje. Právě trubka, ale také pozoun, baskřídlovka nebo některé tuby, jsou laděny v Bb. To znamená, že jejich základním tónem je Bb. Přefukováním můžete bez použití klapek zahrát právě červené tóny. Tuto skutečnost objeví nejspíš většina hráčů pokusem/omylem. Zajímavější je však pozorovat rozdíly mezi červeným a modrým sloupcem u každého konkrétního tónu. Můžeme vidět, že například 11. alikvóta zní níž, než matematicky vypočítaná výška takového tónu. Pokud bude hrát muzikant takový tón právě přefukováním tónu základního jako je tomu u nástrojů žesťových, bude muset právě tento tón hrát výš, než je pro nástroj přirozené. Další tóny se hrají vysunováním snižce u pozounu nebo stisknutím pístu u ostatních nástrojů. V obou případech dochází k prodloužení (tj. zvětšení) nástroje, neboli ke snížení základního tónu. Stejné zákonitosti budou tedy platit pro veškeré tóny na 11. alikvótě.

Jakmile zní v přírodě jakýkoliv tón, zároveň nad ním zní nekonečná řada těchto alikvótních tónů. Ty mohou být slyšet různě hlasitě. Rozložení těchto alikvót vytváří tzv. barvu zvuku. První tři alikvóty není příliš náročné rozeznat uchem. Pokud tedy například zahrajete na kytaře prázdnou strunu E, můžete při pozorném poslechu rozpoznat ve zvuku také tón E o oktávu výš a zároveň ještě výš tón H.
Můžeme také pozorovat, že u vyšších tónů se alikvótní tóny v rámci tónové řady zhušťují. Tento jev, dle mého soudu naznačuje, proč můžeme rozpoznat ve vyšších polohách více tónu u sebe. Zatímco v hlubších polohách náš sluch vyžaduje větší intervaly (vzdálenosti) mezi tóny, abychom je dokázali analyzovat.

Myslím, že s trochou nadsázky můžeme v alikvótní řadě nalézt také "prapůvod" harmonie. 

Podívejme se na alikvótní řadu od tónu C:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
C C G C E G Bb C D E F# G G# Bb H C

Sesbíráním sousedních tónů nám vznikají následující durové akordy:

C, E, G - Cdur

C, E, G, Bb - C7

C, E, G, Bb, D - C9

C, E, G, Bb, D, F# - C11